Buscar una palanca o algo muy fuerte y resistente para apoyarse. Quiere decir aferrarse, agarrarse, asirse fuertemente. Apoyarse. En Colombia de manera coloquial apadrinarse, buscar apoyo de alguien muy influyente (palanca).
Sinónimos de apalancarse son apoyarse aferrarse agarrarse asirse
Usado así en Colombia
"Hay que apalancarse bien para poder levantar algo muy pesado."