Es "apostar por algo o alguien, tenerle confianza". Toma en sentido figurado el ponerle fichas a un número en la ruleta, porque creemos que es el ganador. Aunque no es tan común, también se pueden interpretar las 'fichas' como los fichines para jugar en los pinball, metegol o demás entretenimientos por tiempo, y entonces sería "azuzar o alimentar una situación para que continúe, para que progrese; sea buena o mala", que se puede comparar con «calentar la cabeza».
"«Poner fichas» tiene significados más literales, pero ya no son una locución y no se definen en un diccionario."